Hoppa till innehållet
Niclas Fohlin

Stödundervisning · Problemlösning i grupp · Avancerat

Avancerat Problem 10 av 10

Alla summor

Alla fyra sidorna som pdf

Lärarens sida

Lärarens sida som pdf

Lärarens sida: Avancerat, problem 10, Alla summor

Problemet

Talet 3 kan skrivas som en summa av positiva heltal på fyra sätt, när ordningen räknas: 3, 2 + 1, 1 + 2 och 1 + 1 + 1. Talet själv räknas också som ett sätt.

På hur många sätt kan talen 4 och 5 skrivas så?

På hur många sätt kan 10 skrivas så? Förklara hur ni vet.

Problemet handlar om kombinatorik och leder till potenser. Talet 4 kan skrivas som en summa på 8 sätt, 5 på 16 och 10 på 512, när ordningen räknas. Antalet fördubblas, och talet n ger 2 upphöjt till (n − 1). Eleverna listar systematiskt och förklarar mönstret med klossar. Material: tio klossar eller kuber. Idén kommer ur Problembanken åk 7–⁠9, problem 15.

Lösning A
På bordet: Avancerat, problem 10 · Lösning A. Lösning A, att ordna efter antalet tal. Sätten för 4 ordnade efter hur många tal summan har: 4, sedan 3 + 1, 1 + 3 och 2 + 2, sedan 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1 och 1 + 1 + 2, och sist 1 + 1 + 1 + 1. 1 + 3 + 3 + 1 = 8 sätt. Talen 1 till 5 ger 1, 2, 4, 8 och 16 sätt. Antalet fördubblas, och för 10 blir det 16 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 512.
Lösning B
På bordet: Avancerat, problem 10 · Lösning B. Lösning B, klossar på rad. 4 är fyra klossar med tre luckor. Varje lucka får en avdelare eller inte, och 1 | 3 är 1 + 3. Tre luckor med två val var ger 2 · 2 · 2 = 8 sätt. 10 klossar har 9 luckor: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 512. Kontroll: 3 har två luckor och 2 · 2 = 4 sätt.

I passet · Lärarens sida: Avancerat, problem 10, Alla summor

Ringa in
Frågorna, talen 4, 5 och 10, och orden summa, ”positiva heltal” och ”ordningen räknas”.
Lyft ut
Vi vet: 3 kan skrivas på fyra sätt, och 2 + 1 och 1 + 2 är olika.
Vi ska ta reda på: antalet sätt för 4, 5 och 10.
Ord och tal
Fråga: Vad är ett positivt heltal? Varför är 2 + 1 och 1 + 2 två sätt? Räknas 0 + 3?
Förutse
En lista ordnad efter första talet eller efter antalet tal, klossar eller ett mönster. Många missar sätt när de listar utan ordning.
Kör de fast
Föreslå: Skriv alla sätt för 4 och ordna listan.
Efter några försök: Berätta vad ni har gjort! Ni sa att talen 1, 2, 3 och 4 kan skrivas på 1, 2, 4 och 8 sätt. Försök använda det!
Säg inte
Varje lucka mellan klossarna får en avdelare eller inte. Det ger bort lösningen.
Mindre och större
Mindre: Ta talen 1 och 2 först och sedan 4 (1, 2 och 8 sätt).
Större: Om ordningen inte räknas, är 2 + 1 och 1 + 2 samma sätt. Hur många sätt finns det då för 4 och 5? (5 och 7 sätt)
Jämför
Antalet fördubblas när talet ökar med 1. I A syns det i tabellen, och i B ger varje ny lucka två val, 2 · 2 · 2 = 8 för 4.
Fel eller osäker
Ni säger att 4 kan skrivas på 5 sätt. Hur kan ni kontrollera att det stämmer med problemet?
Hur vet ni att ni har alla sätt?

Problemet

Problemet som pdf

Alla summor

Talet 3 kan skrivas som en summa av positiva heltal på fyra sätt, när ordningen räknas: 3, 2 + 1, 1 + 2 och 1 + 1 + 1. Talet själv räknas också som ett sätt.

På bordet: Avancerat, problem 10 · Alla summor. De fyra sätten att skriva 3, ritade som klossar på rad: 3, 2 + 1, 1 + 2 och 1 + 1 + 1.

Frågorna

  1. 1.På hur många sätt kan talen 4 och 5 skrivas så?
  2. 2.På hur många sätt kan 10 skrivas så? Förklara hur ni vet.

Till läraren · Hör till: Lärarens sida, bladet Två lösningar och lösningsförslaget. AVANCERAT · problem 10

Två lösningar

Två lösningar som pdf

Alla summor

Två elever har löst problemet på olika sätt. Titta först på lösning A och sedan på B, och prata om frågorna.

Lösning A

Lösning A: Lista sätten efter hur många tal summan har. För 4 blir det 1 + 3 + 3 + 1 = 8 sätt. Talen 1 till 5 ger 1, 2, 4, 8 och 16 sätt i en tabell. Antalet fördubblas, och för 10 blir det 16 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 512.

Lösning B

Lösning B: Klossar på rad. 4 klossar har tre luckor, och varje lucka får en avdelare eller inte: 2 · 2 · 2 = 8 sätt. 5 klossar har fyra luckor: 16 sätt. 10 klossar har 9 luckor: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 512. Kontroll: 3 ger 2 · 2 = 4 sätt.

Frågor att prata om

  1. 1.Hur ordnar eleven listan i lösning A så att inget sätt fattas?
  2. 2.Varför ger varje lucka två val i lösning B?
  3. 3.Var syns det i båda lösningarna att antalet fördubblas?
  4. 4.Vilken lösning liknar er egen? Vilken skulle ni välja för talet 20, och varför?

Till läraren · I passet: Dela ut bladet i Jämföra, när paren har prövat. Lärarens sida säger vad som är lika i lösningarna. AVANCERAT · problem 10 · två lösningar

Lösningsförslag

Lösningsförslag som pdf

Lösningsförslag · Sannolikhet och statistik

Alla summor

Problemet

Talet 3 kan skrivas som en summa av positiva heltal på fyra sätt, när ordningen räknas: 3, 2 + 1, 1 + 2 och 1 + 1 + 1. Talet själv räknas också som ett sätt.

På hur många sätt kan talen 4 och 5 skrivas så?

På hur många sätt kan 10 skrivas så? Förklara hur ni vet.

Svaret: 4 på 8 sätt, 5 på 16 och 10 på 512, eftersom antalet fördubblas.

Kontroll: 1 + 3 + 3 + 1 = 8 och 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16, och 16 · 32 = 512.

På bordet: Avancerat, problem 10 · Alla summor. De fyra sätten att skriva 3, ritade som klossar på rad: 3, 2 + 1, 1 + 2 och 1 + 1 + 1.

Idén: Antalet sätt fördubblas när talet ökar med 1.

Lösning A: ordna efter antalet tal

På bordet: Avancerat, problem 10 · Lösning A. Lösning A, att ordna efter antalet tal. Sätten för 4 ordnade efter hur många tal summan har: 4, sedan 3 + 1, 1 + 3 och 2 + 2, sedan 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1 och 1 + 1 + 2, och sist 1 + 1 + 1 + 1. 1 + 3 + 3 + 1 = 8 sätt. Talen 1 till 5 ger 1, 2, 4, 8 och 16 sätt. Antalet fördubblas, och för 10 blir det 16 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 512.

Eleven listar sätten ordnade efter hur många tal summan har och ser att antalet fördubblas.

Lösning B: klossar på rad

På bordet: Avancerat, problem 10 · Lösning B. Lösning B, klossar på rad. 4 är fyra klossar med tre luckor. Varje lucka får en avdelare eller inte, och 1 | 3 är 1 + 3. Tre luckor med två val var ger 2 · 2 · 2 = 8 sätt. 10 klossar har 9 luckor: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 512. Kontroll: 3 har två luckor och 2 · 2 = 4 sätt.

Eleven lägger klossar på rad och ser att varje lucka mellan dem får en avdelare eller inte.

Lösning C: tankevurpa

4, 3 + 1, 2 + 2
2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1
Svar: 4 kan skrivas på 5 sätt.

Ordningen räknas, så 1 + 3, 1 + 2 + 1 och 1 + 1 + 2 saknas: 5 + 3 = 8.

Fråga: ”Hur visar problemet att ordningen räknas?”

Frågor om tankarna bakom

  1. 1.Hur ordnar eleven listan i lösning A så att inget sätt fattas?
  2. 2.Varför ger varje lucka två val i lösning B?
  3. 3.Var syns det i båda lösningarna att antalet fördubblas?
  4. 4.Vilken lösning liknar er egen? Vilken skulle ni välja för talet 20, och varför?

Visa och jämför lösningar

  • Först. Låt eleverna lösa problemet på sitt sätt. Fråga innan du visar: ”Hur tänkte ni?”
  • Två sätt. Visa två lösningar bredvid varandra, A och B eller två elevers. Börja med det vanligaste, och täck det andra tills det första är förklarat.
  • Tankevurpan. Säg att lösning C kommer från en annan skola, så att ingen i gruppen känner sig utpekad. Låt eleverna hitta tankevurpan, och ställ frågan bredvid C när de kör fast.
  • Tankarna bakom. Låt eleverna förklara med egna ord. Säg rätt eller fel först när gruppen har prövat svaret mot problemet.
  • Det gemensamma. Avsluta med det som är lika i lösningarna, idén, så att eleverna kan använda den igen.

Idén kommer ur Problembanken åk 7–⁠9, problem 15. AVANCERAT · problem 10 · lösningsförslag

© Niclas Fohlin. Ur Problemlösning i grupp, Avancerat, problem 10. Får användas i undervisning. niclasfohlin.se/stodundervisning/problemlosning-i-grupp/avancerat-10