Avancerat Problem 9 av 10
Staketet
Lärarens sida
Lärarens sida som pdfLärarens sida: Avancerat, problem 9, Staketet
Problemet
Ni har 60 m staket till en rektangulär hage för getter. Hagen ska bli så stor som möjligt. Sedan bygger ni hagen mot en lång vägg i stället, så att väggen blir en sida och staketet räcker till de tre andra.
Vilka mått ger den största hagen med staket runt om, och hur stor blir den?
Vilka mått ger den största hagen mot väggen, och hur stor blir den?
Problemet handlar om största arean med 60 m staket. Hagen blir störst som en kvadrat, 15 · 15 = 225 m², och mot en vägg 15 · 30 = 450 m². Eleverna ritar, gör en tabell och ser arean som en funktion. Material: rutat papper och ett snöre på 60 cm. Idén kommer ur Problembanken åk 7–9, problem 9.
I passet · Lärarens sida: Avancerat, problem 9, Staketet
- Ringa in
- Frågorna, talet 60, och orden rektangulär, ”så stor som möjligt”, vägg och ”de tre andra”.
- Lyft ut
- Vi vet: 60 m staket, en rektangel, och sedan en vägg som en sida.
Vi ska ta reda på: måtten som ger störst area, båda gångerna. - Ord och tal
- Peka på väggen i bilden. Fråga: Vad mäter 60 m, omkretsen eller arean? Är det omkretsen också mot väggen? Vad betyder ”så stor som möjligt”?
- Förutse
- Hagar som ritas på rutat papper, en tabell med sidorna, eller en formel och en graf. Mot väggen tror många att kvadraten är bäst igen.
- Kör de fast
- Föreslå: Rita några hagar med 60 m staket och räkna arean.
Efter några försök: Berätta vad ni har gjort! Ni sa att 10 och 20 m gav 200 m², och 12 och 18 gav mer. Försök använda det! - Säg inte
- Kvadraten är störst, och mot väggen blir längden dubbelt så stor som bredden. Det ger bort lösningen.
- Mindre och större
- Mindre: Pröva samma problem med 20 m staket, i hela meter (5 · 5 = 25 m², och mot väggen 5 · 10 = 50 m²).
Större: Hagen ska ligga i ett hörn, med två väggar som sidor. Hur stor kan den bli nu? (30 och 30 m, 900 m²) - Jämför
- Arean blir störst i mitten, där talen i tabellen vänder. I A syns det när bredden 14 och 16 ger samma area, och i B i grafens topp, mitt emellan b och 30 − b.
- Fel eller osäker
- Ni säger att en kvadrat med sidan 20 m är bäst mot väggen. Hur kan ni kontrollera att det stämmer med problemet?
”Är 15 m svaret?” Vilka är måtten, och hur stor blir hagen?
Problemet
Problemet som pdfAvancerat, problem 9: Staketet
Ni har 60 m staket till en rektangulär hage för getter. Hagen ska bli så stor som möjligt. Sedan bygger ni hagen mot en lång vägg i stället, så att väggen blir en sida och staketet räcker till de tre andra.
Frågorna
- 1.Vilka mått ger den största hagen med staket runt om, och hur stor blir den?
- 2.Vilka mått ger den största hagen mot väggen, och hur stor blir den?
Till läraren · Hör till: Lärarens sida, bladet Två lösningar och lösningsförslaget. AVANCERAT · problem 9
Två lösningar
Två lösningar som pdfStaketet
Två elever har löst problemet på olika sätt. Titta först på lösning A och sedan på B, och prata om frågorna.
Lösning A
Lösning B
Frågor att prata om
- 1.Vad gör eleven i lösning A, och hur vet eleven att 15 är bäst?
- 2.Varför är arean mot väggen dubbelt så stor som runt om i lösning B?
- 3.Var syns det i båda lösningarna att arean är störst när bredden är 15 m?
- 4.Vilken lösning liknar er egen? Vilken skulle ni välja med 50 m staket, och varför?
Till läraren · I passet: Dela ut bladet i Jämföra, när paren har prövat. Lärarens sida säger vad som är lika i lösningarna. AVANCERAT · problem 9 · två lösningar
Lösningsförslag
Lösningsförslag som pdfLösningsförslag · Samband och förändring
Lösningsförslag: Avancerat, problem 9: Staketet
Problemet
Ni har 60 m staket till en rektangulär hage för getter. Hagen ska bli så stor som möjligt. Sedan bygger ni hagen mot en lång vägg i stället, så att väggen blir en sida och staketet räcker till de tre andra.
Vilka mått ger den största hagen med staket runt om, och hur stor blir den?
Vilka mått ger den största hagen mot väggen, och hur stor blir den?
Svaret: Runt om 15 · 15 = 225 m². Mot väggen 15 · 30 = 450 m², 30 längs väggen.
Kontroll: Staketet: 4 · 15 = 60, och mot väggen 2 · 15 + 30 = 60.
Idén: Arean blir störst i mitten, där talen i tabellen vänder.
Lösning A: pröva olika bredder
Eleven prövar bredder i två tabeller och ser att arean minskar på båda sidor om 15 m.
Lösning B: uttryck och graf
Eleven skriver arean som b · (30 − b) och ser i grafen att den är störst vid 15.
Lösning C: tankevurpa
Runt om: 15 · 15 = 225
Mot väggen: 20 + 20 + 20 = 60
20 · 20 = 400
Svar: 225 m² och 400 m².
Runt om stämmer, men kvadraten är inte störst mot väggen: 15 · 30 = 450 m² är mer.
Fråga: ”Hur kan ni pröva om 20 och 20 m är bäst?”
Frågor om tankarna bakom
- 1.Vad gör eleven i lösning A, och hur vet eleven att 15 är bäst?
- 2.Varför är arean mot väggen dubbelt så stor som runt om i lösning B?
- 3.Var syns det i båda lösningarna att arean är störst när bredden är 15 m?
- 4.Vilken lösning liknar er egen? Vilken skulle ni välja med 50 m staket, och varför?
Visa och jämför lösningar
- Först. Låt eleverna lösa problemet på sitt sätt. Fråga innan du visar: ”Hur tänkte ni?”
- Två sätt. Visa två lösningar bredvid varandra, A och B eller två elevers. Börja med det vanligaste, och täck det andra tills det första är förklarat.
- Tankevurpan. Säg att lösning C kommer från en annan skola, så att ingen i gruppen känner sig utpekad. Låt eleverna hitta tankevurpan, och ställ frågan bredvid C när de kör fast.
- Tankarna bakom. Låt eleverna förklara med egna ord. Säg rätt eller fel först när gruppen har prövat svaret mot problemet.
- Det gemensamma. Avsluta med det som är lika i lösningarna, idén, så att eleverna kan använda den igen.
Idén kommer ur Problembanken åk 7–9, problem 9. AVANCERAT · problem 9 · lösningsförslag
© Niclas Fohlin. Ur Problemlösning i grupp, Avancerat, problem 9. Får användas i undervisning. niclasfohlin.se/stodundervisning/problemlosning-i-grupp/avancerat-9