Hoppa till innehållet
Niclas Fohlin

Stödundervisning · Problemlösning i grupp · Avancerat

Avancerat Problem 6 av 10

Skålarna

Alla fyra sidorna som pdf

Lärarens sida

Lärarens sida som pdf

Lärarens sida: Avancerat, problem 6, Skålarna

Problemet

I en röd skål ligger fem bollar med talen 3, 7, 9, 10 och 11. I en blå skål ligger fyra bollar med talen 2, 4, 6 och 8. Du ska flytta en av bollarna i den röda skålen till den blå.

Vilken boll ska du flytta för att medelvärdet ska bli större i båda skålarna?

Problemet handlar om medelvärdet som balanspunkt. En boll som är mindre än medelvärdet höjer det när den tas bort, och en som är större höjer det när den läggs till. Svaret är bollen 7. Eleverna prövar i en tabell och resonerar om medelvärdet. Material: lappar med bollarnas tal, i två högar. Idén kommer ur Känguru 2025, Cadet nr 17.

Lösning A
På bordet: Avancerat, problem 6 · Lösning A. Lösning A, att pröva varje boll. Medelvärdet nu: röd 40 / 5 = 8 och blå 20 / 4 = 5. Eleven prövar att flytta varje boll. Bollen 3 gör medelvärdet i den röda större, 9,25, men i den blå mindre, 4,6. Bollen 7 ger röd 33 / 4 = 8,25 och blå 27 / 5 = 5,4, båda större. Bollarna 9, 10 och 11 gör medelvärdet i den röda mindre. Bredvid står uträkningen för bollen 7.
Lösning B
På bordet: Avancerat, problem 6 · Lösning B. Lösning B, medelvärdet som balanspunkt. Bollarna står på två tallinjer, med medelvärdena 8 och 5 utmärkta som balanspunkter. Tar man bort en boll under 8 ur den röda skålen, blir medelvärdet där större. Lägger man en boll över 5 i den blå, blir medelvärdet där större. Bollen ska ligga mellan 5 och 8, och bara 7 gör det. Kontroll: 33 / 4 = 8,25 och 27 / 5 = 5,4.

I passet · Lärarens sida: Avancerat, problem 6, Skålarna

Ringa in
Frågan, talen på bollarna, och orden flytta, medelvärdet och ”båda skålarna”.
Lyft ut
Vi vet: bollarna i varje skål, och att en boll flyttas från den röda skålen till den blå.
Vi ska ta reda på: vilken boll som höjer båda medelvärdena.
Ord och tal
Peka på skålarna. Fråga: Vad betyder medelvärde, och hur räknar man ut det? Vad händer med summan och antalet bollar när en boll flyttas?
Förutse
En tabell där varje boll prövas, eller ett resonemang om medelvärdet. Några tror att det inte går, eftersom medelvärdet i den ena skålen måste minska.
Kör de fast
Föreslå: Räkna ut medelvärdet i båda skålarna, och pröva att flytta en boll.
Efter några försök: Berätta vad ni har gjort! Ni sa att om 11 flyttas blir medelvärdet i den röda mindre. Försök använda det!
Säg inte
Bollen ska vara mindre än 8 och större än 5. Det ger bort lösningen.
Mindre och större
Mindre: Den röda skålen har 2, 5 och 11, och den blå 1 och 3 (flytta bollen 5).
Större: Kan ni flytta en boll från blå till röd, så att båda medelvärdena ökar? Varför? (Nej: bollen skulle behöva vara under 5 och över 8)
Jämför
Bollen ska vara under det röda medelvärdet och över det blå. I A syns det i tabellen, och i B ligger 7 mellan 5 och 8.
Fel eller osäker
Ni säger att 3 ska flyttas. Hur kan ni kontrollera att det stämmer med problemet?
Ni delar summan i den blå med 4. Hur många bollar ligger i den blå nu?

Problemet

Problemet som pdf

Skålarna

I en röd skål ligger fem bollar med talen 3, 7, 9, 10 och 11. I en blå skål ligger fyra bollar med talen 2, 4, 6 och 8. Du ska flytta en av bollarna i den röda skålen till den blå.

På bordet: Avancerat, problem 6 · Skålarna. En röd skål med bollarna 3, 7, 9, 10 och 11, och en blå skål med bollarna 2, 4, 6 och 8.

Frågan

Vilken boll ska du flytta för att medelvärdet ska bli större i båda skålarna?

Till läraren · Hör till: Lärarens sida, bladet Två lösningar och lösningsförslaget. AVANCERAT · problem 6

Två lösningar

Två lösningar som pdf

Skålarna

Två elever har löst problemet på olika sätt. Titta först på lösning A och sedan på B, och prata om frågorna.

Lösning A

Lösning A: Pröva varje boll. Medelvärdet nu: röd 40 / 5 = 8 och blå 20 / 4 = 5. Bollen 3 ger röd 9,25 men blå 4,6. Bollen 7 ger röd 33 / 4 = 8,25 och blå 27 / 5 = 5,4, båda större. Bollarna 9, 10 och 11 gör medelvärdet i den röda mindre.

Lösning B

Lösning B: Medelvärdet som balanspunkt. Medelvärdena är 8 och 5. En boll under 8 som tas bort höjer medelvärdet i röd. En boll över 5 som läggs till höjer det i blå. Bollen ska ligga mellan 5 och 8, och bara 7 gör det. Kontroll: 33 / 4 = 8,25 och 27 / 5 = 5,4.

Frågor att prata om

  1. 1.Vad gör eleven i lösning A med varje boll?
  2. 2.Varför ska bollen i lösning B vara mindre än 8 och större än 5?
  3. 3.Var syns det i båda lösningarna att bollen ska ligga mellan de två medelvärdena?
  4. 4.Vilken lösning liknar er egen? Vilken skulle ni välja med 50 bollar i varje skål, och varför?

Till läraren · I passet: Dela ut bladet i Jämföra, när paren har prövat. Lärarens sida säger vad som är lika i lösningarna. AVANCERAT · problem 6 · två lösningar

Lösningsförslag

Lösningsförslag som pdf

Lösningsförslag · Sannolikhet och statistik

Skålarna

Problemet

I en röd skål ligger fem bollar med talen 3, 7, 9, 10 och 11. I en blå skål ligger fyra bollar med talen 2, 4, 6 och 8. Du ska flytta en av bollarna i den röda skålen till den blå.

Vilken boll ska du flytta för att medelvärdet ska bli större i båda skålarna?

Svaret: Bollen 7. Medelvärdena blir 8,25 och 5,4.

Kontroll: Röd 8 blir 33 / 4 = 8,25, och blå 5 blir 27 / 5 = 5,4.

På bordet: Avancerat, problem 6 · Skålarna. En röd skål med bollarna 3, 7, 9, 10 och 11, och en blå skål med bollarna 2, 4, 6 och 8.

Idén: Medelvärdet är en balanspunkt: bollen ska vara under det röda medelvärdet och över det blå.

Lösning A: pröva varje boll

På bordet: Avancerat, problem 6 · Lösning A. Lösning A, att pröva varje boll. Medelvärdet nu: röd 40 / 5 = 8 och blå 20 / 4 = 5. Eleven prövar att flytta varje boll. Bollen 3 gör medelvärdet i den röda större, 9,25, men i den blå mindre, 4,6. Bollen 7 ger röd 33 / 4 = 8,25 och blå 27 / 5 = 5,4, båda större. Bollarna 9, 10 och 11 gör medelvärdet i den röda mindre. Bredvid står uträkningen för bollen 7.

Eleven räknar medelvärdena och prövar att flytta varje boll, och bara 7 gör båda större.

Lösning B: medelvärdet som balanspunkt

På bordet: Avancerat, problem 6 · Lösning B. Lösning B, medelvärdet som balanspunkt. Bollarna står på två tallinjer, med medelvärdena 8 och 5 utmärkta som balanspunkter. Tar man bort en boll under 8 ur den röda skålen, blir medelvärdet där större. Lägger man en boll över 5 i den blå, blir medelvärdet där större. Bollen ska ligga mellan 5 och 8, och bara 7 gör det. Kontroll: 33 / 4 = 8,25 och 27 / 5 = 5,4.

Eleven ser medelvärdena som balanspunkter och letar efter en boll mellan 5 och 8.

Lösning C: tankevurpa

Röd utan 3: 37 / 4 = 9,25
Blå med 3: 23 / 4 = 5,75
Båda blir större.
Svar: Bollen 3.

Eleven delar summan i den blå med 4, men där ligger 5 bollar: 23 / 5 = 4,6, mindre än 5.

Fråga: ”Hur många bollar ligger i den blå i elevens svar?”

Frågor om tankarna bakom

  1. 1.Vad gör eleven i lösning A med varje boll?
  2. 2.Varför ska bollen i lösning B vara mindre än 8 och större än 5?
  3. 3.Var syns det i båda lösningarna att bollen ska ligga mellan de två medelvärdena?
  4. 4.Vilken lösning liknar er egen? Vilken skulle ni välja med 50 bollar i varje skål, och varför?

Visa och jämför lösningar

  • Först. Låt eleverna lösa problemet på sitt sätt. Fråga innan du visar: ”Hur tänkte ni?”
  • Två sätt. Visa två lösningar bredvid varandra, A och B eller två elevers. Börja med det vanligaste, och täck det andra tills det första är förklarat.
  • Tankevurpan. Säg att lösning C kommer från en annan skola, så att ingen i gruppen känner sig utpekad. Låt eleverna hitta tankevurpan, och ställ frågan bredvid C när de kör fast.
  • Tankarna bakom. Låt eleverna förklara med egna ord. Säg rätt eller fel först när gruppen har prövat svaret mot problemet.
  • Det gemensamma. Avsluta med det som är lika i lösningarna, idén, så att eleverna kan använda den igen.

Idén kommer ur Känguru 2025, Cadet nr 17. AVANCERAT · problem 6 · lösningsförslag

© Niclas Fohlin. Ur Problemlösning i grupp, Avancerat, problem 6. Får användas i undervisning. niclasfohlin.se/stodundervisning/problemlosning-i-grupp/avancerat-6