Glasspinnarna

Lärarens sida

Lärarens sida: Medel, problem 1, Glasspinnarna

Problemet

Lisa har 12 glasspinnar som är lika långa. Hon lägger likbenta trianglar på bordet, en i taget, och behöver inte använda alla pinnar. Varje sida är en eller flera hela pinnar. En liksidig triangel räknas också som likbent. Trianglar med samma form men olika storlek räknas som olika.

Hur många olika likbenta trianglar kan Lisa lägga?

Hur kan ni vara säkra på att ni har hittat alla?

Problemet handlar om trianglar och om att veta att man har hittat alla. Svaret är 15 likbenta trianglar, och fyra av dem är liksidiga. Eleverna prövar när tre sidor går ihop till en triangel och ordnar sina trianglar så att ingen saknas eller räknas två gånger. Material: glasspinnar, 12 per par. Idén kommer ur Nämnaren 2025:4, problem 4490.

På bordet: Medel, problem 1 · Lösning A. Lösning A, att bygga och sortera. Trianglarna som går ihop är ritade i rader efter benen, med basens längd under varje triangel: 1, 3, 5, 4 och 2 trianglar. Bredvid står de som inte gick: 2, 2, 4 blev platt, och 5, 5, 3 behöver 5 + 5 + 3 = 13 pinnar. Under står summan 1 + 3 + 5 + 4 + 2 = 15. — Lösning A

På bordet: Medel, problem 1 · Lösning B. Lösning B, en lista efter benen. Överst står villkoren: basen är kortare än benen tillsammans, och alla pinnar ihop är högst 12. Tabellen visar benen, vad basen kan vara och antalet. Bredvid står ben 4: 4 + 4 = 8 och 12 − 8 = 4, så basen är högst 4. Under står summan 1 + 3 + 5 + 4 + 2 = 15. — Lösning B

I passet · Lärarens sida: Medel, problem 1, Glasspinnarna

Ringa in: Frågorna, talet 12, och orden likbent, liksidig, ”hela pinnar” och olika.
Lyft ut: Vi vet: 12 lika långa pinnar, minst två sidor lika långa, hela pinnar.
Vi ska ta reda på: hur många olika trianglar, och hur vi vet att vi har alla.
Ord och tal: Reda ut likbent, ben och bas med bilden, och visa den som inte går ihop. Fråga: Vad räknar 12? Är 3, 3, 2 och 2, 3, 3 olika?
Förutse: Paren lägger och ritar pinnar, gör en lista utan ordning eller en tabell efter benen. Någon räknar med platta trianglar, som 2, 2, 4.
Kör de fast: Föreslå: Lägg en triangel och skriv upp sidorna.
Efter några försök: Berätta vad ni har gjort! Ni sa att 2, 2, 4 blev platt. Försök använda det!
Säg inte: Gå igenom benen från 1 till 5, och låt basen vara kortare än benen tillsammans. Det ger bort lösningen.
Mindre och större: Mindre: Högst 6 pinnar (3 trianglar).
Större: Hur många trianglar går med högst 12 pinnar, om sidorna får vara olika långa? (18, de 15 likbenta och 3 till) Hur många likbenta går med högst 20 pinnar? (45)
Jämför: Basen är kortare än benen tillsammans, och pinnarna är högst 12. A hittar villkoren genom att bygga, och B skriver dem som en regel. Ordningen efter benen visar att ingen saknas.
Fel eller osäker: Ni säger att 3, 3, 2 och 2, 3, 3 är två trianglar. Hur kan ni kontrollera det med pinnarna?
”Är det alla nu?” Hur kan ni kontrollera att ingen saknas?

Problemet

Problemet som pdf

Medel, problem 1: Glasspinnarna

Frågorna

1.Hur många olika likbenta trianglar kan Lisa lägga?
2.Hur kan ni vara säkra på att ni har hittat alla?

Till läraren · Hör till: Lärarens sida, bladet Två lösningar och lösningsförslaget. MEDEL · problem 1

Två lösningar

Två lösningar som pdf

Glasspinnarna

Två elever har löst problemet på olika sätt. Titta först på lösning A och sedan på B, och prata om frågorna.

Lösning A

Lösning B

Frågor att prata om

1.Hur sorterar eleven trianglarna i lösning A?
2.Varför skriver eleven i lösning B att basen är högst 4 när benen är 4?
3.Var syns det i båda lösningarna att basen måste vara kortare än benen tillsammans?
4.Vilken lösning liknar er egen? Vilken skulle ni välja med 30 pinnar, och varför?

Till läraren · I passet: Dela ut bladet i Jämföra, när paren har prövat. Lärarens sida säger vad som är lika i lösningarna. MEDEL · problem 1 · två lösningar

Lösningsförslag

Lösningsförslag som pdf

Lösningsförslag · Geometri

Lösningsförslag: Medel, problem 1: Glasspinnarna

Problemet

Hur många olika likbenta trianglar kan Lisa lägga?

Hur kan ni vara säkra på att ni har hittat alla?

Svaret: 15 likbenta trianglar, varav fyra liksidiga. En lista efter benen visar att ingen saknas.

Kontroll: Benen 1 till 5 ger 1 + 3 + 5 + 4 + 2 = 15, och ben 6 ger ingen bas.

Idén: Basen är kortare än benen tillsammans, och pinnarna är högst 12.

Lösning A: bygga och sortera

Eleven lägger trianglar, ritar dem som går ihop och sorterar dem efter benen från 1 till 5.

Lösning B: en lista efter benen

Eleven skriver villkoren först och räknar för varje ben vilka baser som går.

Lösning C: tankevurpa

Ben 1: bas 1, 2. Ben 2: bas 1–⁠4
Ben 3: bas 1–⁠6. Ben 4: bas 1–⁠4
Ben 5: bas 1, 2. Det blir 18.
Svar: 18 likbenta trianglar.

Eleven räknar med platta trianglar, som 3, 3, 6, där basen är lika lång som benen tillsammans.

Fråga: ”Hur ser 3, 3, 6 ut när ni lägger den?”

Frågor om tankarna bakom

1.Hur sorterar eleven trianglarna i lösning A?
2.Varför skriver eleven i lösning B att basen är högst 4 när benen är 4?
3.Var syns det i båda lösningarna att basen måste vara kortare än benen tillsammans?
4.Vilken lösning liknar er egen? Vilken skulle ni välja med 30 pinnar, och varför?

Visa och jämför lösningar

Först. Låt eleverna lösa problemet på sitt sätt. Fråga innan du visar: ”Hur tänkte ni?”
Två sätt. Visa två lösningar bredvid varandra, A och B eller två elevers. Börja med det vanligaste, och täck det andra tills det första är förklarat.
Tankevurpan. Säg att lösning C kommer från en annan skola, så att ingen i gruppen känner sig utpekad. Låt eleverna hitta tankevurpan, och ställ frågan bredvid C när de kör fast.
Tankarna bakom. Låt eleverna förklara med egna ord. Säg rätt eller fel först när gruppen har prövat svaret mot problemet.
Det gemensamma. Avsluta med det som är lika i lösningarna, idén, så att eleverna kan använda den igen.

Idén kommer ur Nämnaren 2025:4, problem 4490. MEDEL · problem 1 · lösningsförslag