Stenplattorna

Lärarens sida

Lärarens sida: Avancerat, problem 3, Stenplattorna

Problemet

Uteplatser läggs med kvadratiska stenplattor. I mitten ligger ljusa plattor i en kvadrat, och runt dem ligger en ram av mörka plattor. Bilden visar de tre första uteplatserna, figur 1, 2 och 3, och mönstret fortsätter likadant.

Hur många ljusa och hur många mörka plattor behövs till figur 5 och till figur 10?

Skriv en regel för de ljusa och de mörka plattorna i figur n.

Ett mönster som växer: figur n har n² ljusa plattor och 4n + 4 mörka. Figur 5 har 25 ljusa och 24 mörka, och figur 10 har 100 och 44. Eleverna går från en tabell till en regel och ser figuren på två sätt. Material: rutat papper eller brickor. Idén kommer ur Hagland, Hedrén och Taflin (2005) och Lithner m.fl. (2025).

På bordet: Avancerat, problem 3 · Lösning A. Lösning A, figur för figur. Eleven ritar figur 4 och för in figur 1 till 5 i tabellen: ljusa 1, 4, 9, 16 och 25 och mörka 8, 12, 16, 20 och 24, fyra fler varje gång. Figur 10: 10 · 10 = 100 ljusa och 24 + 5 · 4 = 44 mörka. Ur tabellen ser eleven att 4 · 1 + 4 = 8 och 4 · 2 + 4 = 12, så figur n har n · n ljusa och 4n + 4 mörka. — Lösning A

På bordet: Avancerat, problem 3 · Lösning B. Lösning B, se strukturen. I figur 4 är de ljusa en kvadrat med sidan 4, och i figur n med sidan n, alltså n². De mörka är fyra sidor med n plattor och fyra hörn, 4n + 4. Figur 5: 5² = 25 och 4 · 5 + 4 = 24. Figur 10: 10² = 100 och 4 · 10 + 4 = 44. Kontroll med figur 3: 3² = 9 och 4 · 3 + 4 = 16. — Lösning B

I passet · Lärarens sida: Avancerat, problem 3, Stenplattorna

Ringa in: Frågorna, figur 5, 10 och n, och orden ljusa, mörka och ram.
Lyft ut: Vi vet: hur figur 1, 2 och 3 ser ut, ljusa i mitten och mörka runt.
Vi ska ta reda på: antalet av varje slag i figur 5, 10 och n.
Ord och tal: Peka på ramen och mitten i bilden. Fråga: Vad betyder figur 10, och vad står n för?
Förutse: Figurer på rutat papper, en tabell, eller en regel ur figuren. Några tror att figur 10 har dubbelt så många som figur 5.
Kör de fast: Föreslå: Rita figur 4 och skriv antalen i en tabell.
Efter några försök: Berätta vad ni har gjort! Ni sa att de mörka blir 4 fler varje gång. Försök använda det!
Säg inte: Sidan i den ljusa kvadraten är figurens nummer. Det ger bort lösningen.
Mindre och större: Mindre: Rita figur 4 och räkna båda slagen (16 ljusa och 20 mörka).
Större: Vilken figur har 100 mörka plattor? (Figur 24) Från vilken figur är de ljusa fler än de mörka? (Figur 5)
Jämför: De mörka ökar med 4, en på varje sida. I A syns det i tabellen, och i B i 4n: var och en av de fyra sidorna har n plattor.
Fel eller osäker: Ni säger att figur 10 har 48 mörka. Hur kan ni kontrollera att det stämmer med bilden?
”Är regeln rätt?” Hur kan ni pröva den på figur 1, 2 och 3?

Problemet

Problemet som pdf

Avancerat, problem 3: Stenplattorna

Frågorna

1.Hur många ljusa och hur många mörka plattor behövs till figur 5 och till figur 10?
2.Skriv en regel för de ljusa och de mörka plattorna i figur n.

Till läraren · Hör till: Lärarens sida, bladet Två lösningar och lösningsförslaget. AVANCERAT · problem 3

Två lösningar

Två lösningar som pdf

Stenplattorna

Två elever har löst problemet på olika sätt. Titta först på lösning A och sedan på B, och prata om frågorna.

Lösning A

Lösning B

Frågor att prata om

1.Vad gör eleven i lösning A från rad till rad i tabellen?
2.Varför delar eleven i lösning B de mörka i fyra sidor och fyra hörn?
3.Var syns det i båda lösningarna att de mörka blir fyra fler för varje figur?
4.Vilken lösning liknar er egen? Vilken skulle ni välja för figur 100, och varför?

Till läraren · I passet: Dela ut bladet i Jämföra, när paren har prövat. Lärarens sida säger vad som är lika i lösningarna. AVANCERAT · problem 3 · två lösningar

Lösningsförslag

Lösningsförslag som pdf

Lösningsförslag · Algebra

Lösningsförslag: Avancerat, problem 3: Stenplattorna

Problemet

Hur många ljusa och hur många mörka plattor behövs till figur 5 och till figur 10?

Skriv en regel för de ljusa och de mörka plattorna i figur n.

Svaret: Figur 5: 25 ljusa, 24 mörka. Figur 10: 100, 44. Figur n: n², 4n + 4.

Kontroll: 5² = 25 och 7² − 5² = 24, 10² = 100 och 12² − 10² = 44.

Idén: De ljusa är en kvadrat med sidan n, och de mörka ökar med 4, en på varje sida.

Lösning A: figur för figur

Eleven ritar figur 4, för in figur 1 till 5 i en tabell och ser regeln i talen.

Lösning B: se strukturen

Eleven ser de ljusa som en kvadrat med sidan n och de mörka som fyra sidor och fyra hörn.

Lösning C: tankevurpa

Figur 5: 25 ljusa och 24 mörka
Figur 10 är dubbelt så stor.
2 · 25 = 50 och 2 · 24 = 48
Svar: 50 ljusa och 48 mörka.

Med dubbla sidan blir de ljusa fyra gånger så många, 10 · 10 = 100, och de mörka blir 44.

Fråga: ”Vad ger elevens sätt för figur 2, och vad visar bilden?”

Frågor om tankarna bakom

1.Vad gör eleven i lösning A från rad till rad i tabellen?
2.Varför delar eleven i lösning B de mörka i fyra sidor och fyra hörn?
3.Var syns det i båda lösningarna att de mörka blir fyra fler för varje figur?
4.Vilken lösning liknar er egen? Vilken skulle ni välja för figur 100, och varför?

Visa och jämför lösningar

Först. Låt eleverna lösa problemet på sitt sätt. Fråga innan du visar: ”Hur tänkte ni?”
Två sätt. Visa två lösningar bredvid varandra, A och B eller två elevers. Börja med det vanligaste, och täck det andra tills det första är förklarat.
Tankevurpan. Säg att lösning C kommer från en annan skola, så att ingen i gruppen känner sig utpekad. Låt eleverna hitta tankevurpan, och ställ frågan bredvid C när de kör fast.
Tankarna bakom. Låt eleverna förklara med egna ord. Säg rätt eller fel först när gruppen har prövat svaret mot problemet.
Det gemensamma. Avsluta med det som är lika i lösningarna, idén, så att eleverna kan använda den igen.

Idén kommer ur Hagland, Hedrén och Taflin (2005) och Lithner m.fl. (2025). AVANCERAT · problem 3 · lösningsförslag